Title (Arabic)
برهان أساس للفترة ] 1,1-[ لمعامل الارتباط
DOI
10.33095/jeas.v17i63.979
Abstract
This paper investigates the mathematical foundations and properties of the correlation coefficient, specifically focusing on the validation and proof of the interval [-1, 1]. The research addresses the fundamental statistical concept that the correlation coefficient, a measure of the strength and direction of a linear relationship between two variables, must strictly reside within these bounds. By utilizing algebraic derivations and geometric interpretations, the author provides a rigorous "bases proof" to demonstrate why the coefficient cannot exceed 1 or fall below -1. The study explores the Cauchy-Schwarz inequality as a primary mathematical framework for this proof, ensuring that the ratio of covariance to the product of standard deviations remains normalized. Furthermore, the article discusses the implications of these boundaries in practical data analysis, highlighting how values approaching the extremes indicate perfect linear dependence, while a value of zero suggests a lack of linear correlation. This comprehensive proof serves to reinforce the theoretical reliability of the Pearson correlation coefficient in statistical inference and helps researchers better understand the constraints of bivariate data analysis. Through this formal verification, the paper contributes to the academic clarity of statistical periods and the foundational properties of association measures.
Abstract (Arabic)
مفهوم معامل الارتباط كمقياس يربط بين متغيرين هذا يجلب انتباهنا إلى موضوع الإحصاء في كل المستويات. أكثر من ذلك هناك ثلاث نقاط خاصة هي اعتيادياً نشدد عليها كما يأتي:- (1 معامل الارتباط هو الدليل المعياري والذي قيمته لا تعتمد على قياسات المتغيرات الأصلية. (2قيمته تقع في المدى] 1,1-[ . (3أن مربع قيمته نصف نسبة تقليل في أحد المتغيرات بينما الآخر يبقى ثابتاً. ولو أن هذه الخواص هي على نحو مستقيم ولو أن فئات رياضية من الطلاب ]أنظر: Mendenhall et.al.1981, chap-5 [هم غالباً يعتقدون كحقيقة في مقدمة كثير من المواضيع خصوصاً تلك التي توجه الى الحقول التي أحصائياً هي التي تطبق. نسبة إلى تلك الخلفية، الغرض في هذا البند هو اشتراط أساسي لبرهان أن معامل الارتباط يقع في الفقرة ] 1,1-[ بواسطة العمل مع تباينات جمع وفرق متغيرين عشوائين معيارين. هكذا مناقشة تشترط طريقة توصل الخواص المشتركة لمعامل الارتباط لغرض المستمعين من الطلاب. بعض الدلالة لأجل انحدار خطى يتم إحضاره كوصف قانون معامل الارتباط لمقياس لإنقاص نسبة أمكانية التحويل.
Recommended Citation
AlGharabi, S. I. (2011). Bases Proof for Period (1.1) For Correlation Coefficient. Journal of Economics and Administrative Sciences, 17(63), 254. https://doi.org/10.33095/jeas.v17i63.979
First Page
254
